习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减知识点二 求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时，(1)如果在 x0附近的左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，那么 f(x0)是极大值.(2)如果在 x0附近的左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，那么 f(x0)是极小值.知识点三 函数 y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法1.求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值.2.将函数 y＝f(x)的极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.函数 y＝xlnx 在上是减函数.( √ )2.若函数 y＝ax－lnx 在内单调递增，则 a 的取值范围为(2，＋∞).( × )3.设函数 f(x)＝x·(x－c)2在 x＝2 处有极大值，则 c＝2.( × )4.函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为.( √ )类型一 导数与函数单调性例 1 已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中 g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴.(1)确定 a 与 b 的关系；(2)若 a≥0，试讨论函数 g(x)的单调性.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性解 (1)依题意得 g(x)＝lnx＋ax2＋bx，则 g′(x)＝＋2ax＋b.由函数 g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴得 g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.(2)由(1)得g′(x)＝＝. 函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当 a＝0 时，g′(x)＝－.由 g′(x)＞0 得 0＜x＜1，由 g′(x)＜0 得 x＞1，即函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当 a＞0 时，令 g′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝，若＜1，即 a＞，由 g′(x)＞0 得 x＞1 或 0＜x＜，由 g′(x)＜0 得＜x＜1，即函数 g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；若＞1，即 0＜a＜，由 g′(x)＞0 得 x＞或 0＜x＜1，由 g′(x)＜0 得 1＜x＜，即函数 g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；若＝1，即 a＝，在(0，＋∞)上恒有 g′(x)≥0，即函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递增.综上可得，当 a＝0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递...
