高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2．3.1 平面向量基本定理[教材研读]预习课本 P93～94，思考以下问题1．平面向量基本定理的内容是什么？ 2．如何定义平面向量基底？ 3．两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？ [要点梳理]1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2．向量的夹角条件两个非零向量 a 和 b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a 与 b 同向θ＝90°a 与 b 垂直，记作 a⊥bθ＝180°a 与 b 反向[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．任意两个向量都可以作为基底．( )2．一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( )3．零向量不可以作为基底中的向量．( )[答案] 1.× 2.× 3.√思考：如果 e1，e2是共线向量，那么向量 a 能否用 e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当 a 与 e1共线时可以表示，否则不能表示．如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点，若AB＝a，AD＝b，试用 a，b 表示DC，BC，MN.[解] 如图所示，连接 CN，则四边形 ANCD 是平行四边形．则DC＝AN＝AB＝a；BC＝NC－NB＝AD－AB＝b－a；MN＝CN－CM＝－AD－CD＝－AD－＝a－b. 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[跟踪训练]如图所示，已知在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点．若AB＝a，AD＝b，试用 a，b 为基底表示向量DE，BF.[解] 四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点，∴AD＝BC＝2BE，CD＝BA＝2CF.∴BE＝AD＝b，CF＝CD＝BA＝－AB＝－a.∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE＝－b＋a＋b＝a－b.BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝b－a.思考：平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：存在． 不一样．已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为 α，a－b 与 a的夹角是 β，求 α＋β.[思路导引] 利用图形作 a 与 b...