2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学 习 目 标核 心 素 养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.数量积a·b＝x1x2＋ y 1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 2.向量模的公式设 a＝(x1，y1)，则|a|＝.3．两点间的距离公式若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.4．向量的夹角公式设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 夹角为 θ，则cos θ＝＝.思考：已知向量 a＝(x，y)，你知道与 a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与 a 垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与 a 共线的单位向量为 a0，则 a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与 a 同向和反向．易知 b＝(－y，x)和 a＝(x，y)垂直，所以与 a 垂直的单位向量 b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．1．若向量 a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则 x 等于( )A．3 B．－3C. D．－A [a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选 A.]2．已知 a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则 a·b＝________，|a＋b|＝________.1 2 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.]3．已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若 a⊥b，则 m＝______. [因为 a⊥b，所以 a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得 m＝.]4．已知 a＝(3,4)，b＝(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为________． [因为 a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以 a 与 b 夹角的余弦值为＝＝.]平面向量数量积的坐标运算【例 1】 (1)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．(2)已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10.① 求 a 的坐标；② 若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.思路点拨：(1) (2) ① 先由 a＝λb 设点 a 坐标，再由 a·b＝10 求 λ.② 依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1) [以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．可...
