第三课 平面向量[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]平面向量的线性运算【例 1】 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 M，N 分别是 DA，BC 的中点，且＝k，设AD＝e1，AB＝e2，以 e1，e2为基底表示向量DC，BC，MN.[解] AB＝e2，且＝k，∴DC＝kAB＝ke2. AB＋BC＋CD＋DA＝0，∴BC＝－AB－CD－DA＝－AB＋DC＋AD＝e1＋(k－1)e2.又 MN＋NB＋BA＋AM＝0，且NB＝－BC，AM＝AD，∴MN＝－AM－BA－NB＝－AD＋AB＋BC＝e2.向量线性运算的基本原则和求解策略1 基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.2 求解策略：① 向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.② 字符表示下线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如共起点两个向量作差用减法的几何意义，如[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，AN＝NC，P 是 BN 上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数 m 的值为________． [设BP＝λBN，则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋AC＝(m－1)AB＋AC.BN＝BA＋AN＝－AB＋AC. BP与BN共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.]平面向量数量积的运算【例 2】 (1)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )A. B.C．－ D．－(2)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM＝2MD.若AC·BM＝－3，则AB·AD＝________.(1)A (2) [(1)AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，向量AB＝(2,1)在CD＝(5,5)上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝|AB|·＝＝＝.(2)因为AC·BM＝·＝－2－AB·AD＝－3，所以AB·AD＝.]向量数量积的求解策略1 利用数量积的定义、运算律求解.,在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，a－b2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及a＋b·a－b＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2 借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积.3 借助平行向量与垂直向量.,即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助 a⊥b，则 a·b＝0 等解决问题.4 建立坐标系，利用坐标运算求...
