4.2.2 等差数列的前 n 项和公式第 1 课时 等差数列的前 n 项和公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程(难点)．2．掌握等差数列前 n 项和公式及其应用(重点)．3．会求等差数列前 n 项和的最值(重点).1.通过等差数列前 n 项和的有关计算及 an与Sn关系的应用，培养数学运算素养．2．借助等差数列前 n 项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的 V 形架，V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100 支．老师问：“高斯，你知道这个 V 形架上共放着多少支铅笔吗？”思考：计算 1＋2＋3＋…＋99＋100.1．等差数列前 n 项和公式是用倒序相加法推导的．2．等差数列的前 n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋ d 思考：等差数列{an}前 n 项和公式推导中，运用了哪条性质？[提示] 运用性质“等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq.”从而 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1.3．等差数列前 n 项和 Sn的最值(1)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若 a1>0，d>0，则 S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则 S1 是{Sn}的最大值．思考：我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的 Sn何时有最大值？何时有最小值？[提示] 由二次函数的性质可以得出：当 a1<0，d>0 时，Sn 先减后增，有最小值；当a1>0，d<0 时，Sn先增后减，有最大值；且 n 取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1起，一直到第 n 项 an所有项的和．( )(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于 n 与 an的函数式即为数列{an}的通项公式． ( )(3)等差数列{an}的前 n 项和 Sn都可以写成二次函数 Sn＝An2＋Bn．( )[提示] (1)正确．由前 n 项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为 a1＝S1＝3，所以 a1不满足 an＝Sn－Sn－1＝...
