2.2.2 反证法学 习 目 标核 心 素 养1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)1．通过反证法的学习，体现了数学逻辑推理的素养.2．借助反证法证明问题，提升逻辑推理的素养.反证法的定义及证题的关键思考：反证法的实质是什么？[提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．1．“abC．a＝bD．a＝b 或 a>b[答案] D2．用反证法证明“如果 a＞b，那么> ”，假设的内容应是________．[答案] ≤3．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)① 结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③ [反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]用反证法证明否定性命题【例 1】 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列．[证明] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即 a＋c＋2＝4b. a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac，即 b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝.从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[跟进训练]1．已知△ABC 的三条边长是 a，b，c，且，，构成公差不为 0 的等差数列，求证：B 不可能是钝角．[证明] 假设 B 是钝角，则 B 是最大角，因此 b＞a，b＞c，所以＜，＜，则＜＋.又因为，，构成公差不为 0 的等差数列，所以＝＋，这与＜＋相矛盾，故假设错误．即 B 不可能是钝角.用反证法证明唯一性命题【例 2】 求证方程 2x＝3 有且只有一个根．[证明] 2x＝3，∴x＝log23，这说明方程 2x＝3 有根．下面用反证法证明方程 2x＝3 的根是唯一的：假设方程 2x＝3 至少有两个根 b1，b2(b1≠b2)，则 2＝3,2＝3，两式相除得 2＝1.若 b1－b2>0，则 2>1，这与 2＝1 相矛盾．若 b1－b2<0，则 2<1，这也与 2＝1 相矛盾．∴b1－b2＝0，则 b1＝b2.∴假设不成立，从而原命...
