2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．2．理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0时命题成立；(2)在假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时命题成立的前提下，推出当 n＝______时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立．数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可；(2)在第一步中，n 的初始值不一定从 1 取起，也不一定只取一个数(有时需取 n＝n0，n0＋1 等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明 n＝k＋1 时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明 n＝k＋1 时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当 n＝k＋1 时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．【做一做】对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当 n＝1 时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，则当 n＝k＋1 时，＝＜＝(k＋1)＋1，∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．上述证法( )．A．过程全部正确B．n＝1 时验证不正确C．归纳假设不正确D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即 n＝k＋1 时命题为什么成立？n＝k＋1 时命题成立是利用假设 n＝k 时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则 n＝k＋1 时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找 n＝k 与 n＝k＋1 的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设 n...
