2．3.1 数学归纳法 2．3.2 数学归纳法应用举例 1.了解数学归纳法的原理． 2.理解数学归纳法中，两个步骤的作用． 3.掌握数学归纳法的证题步骤． 数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当 n＝k ＋ 1 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )(2)数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案：(1)× (2)× (3)√2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6解析：选 C.当 n 取 1、2、3、4 时 2n>n2＋1 不成立，当 n＝5 时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使 2n>n2＋1 的 n 值为 5，故选 C.3．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝(n∈N＋)时，从“n＝k→n＝k＋1”，等式左边需增添的项是( )A． B．＋C． D．解析：选 C.当 n＝k 时，左边为＋＋…＋，当 n＝k＋1 时，左边为＋＋…＋＋，比较可知增加了一项. 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中 n∈N＋.[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N＋)时等式成立，即 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当 n＝k＋1 时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]1＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当 n＝k＋1 时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何 n∈N＋都成立．用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明：对任何正整数 n 都有＋＋＋…＋＝成立．证明：(1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝，等式成立．(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，＋＋＋…＋＝成立，则当 n＝k＋1 时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以 n＝k＋1 时，等式成立．由(1)(2)可得对一切正整数 n，等式均成立． 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．[证明] (1)当 n＝2 时，1＋＝<2－＝，命题成立...
