高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

2．1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 1.了解解析几何讨论的两个基本问题． 2.会由曲线的几何条件求曲线方程． 3.学会由曲线方程研究曲线的几何性质．1．解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的方程；(2)利用方程研究曲线的性质．2．求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对 ( x ， y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{ M | p ( M )} ；(3)用坐标表示条件 p ( M ) ，列出方程 f ( x ， y ) ＝ 0 ；(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．利用方程研究曲线的性质(1)曲线的组成．(2)曲线与坐标轴的交点．(3)曲线的对称性质．(4)曲线的变化情况．(5)画出方程的曲线．1．到坐标原点的距离是到 x 轴距离 2 倍的点的轨迹方程是( )A．y＝±xB．y＝xC．x2－3y2＝1D．x2－3y2＝0解析：选 D．设点的坐标为(x，y)，则＝2|y|，整理得 x2－3y2＝0.2．到两坐标轴距离之和等于 1 的点的轨迹方程是( )A．x＋y＝1B．x＋y＝±1C．|x|＋|y|＝1D．|x＋y|＝1解析：选 C．动点 P(x，y)到 x 轴和 y 轴上的距离分别为|y|和|x|，故有|x|＋|y|＝1.3．设 A、B 两点的坐标分别是(1，0)，(－1，0)，若 kMA·kMB＝－1，求动点 M 的轨迹方程．解：设 M(x，y)，所以 kMA＝，kMB＝(x≠±1)，又因为 kMA·kMB＝－1，即·＝－1，所以 x2＋y2＝1，所以轨迹方程为 x2＋y2＝1(x≠±1)． 直接法求曲线方程1 如图，已知点 F(1，0)，直线 l：x＝－1，P 为平面上的一动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 Q，且QP·QF＝FP·FQ.求动点 P 的轨迹 C 的方程．【解】 设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)．由QP·QF＝FP·FQ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，所以 2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，化简得 y2＝4x(x≥0)．即轨迹 C 的方程为 y2＝4x(x≥0)． 若本例中的等式关系改为QP·FP＝OP·QF，其他条件不变，求动点 P 的轨迹 C 的方程．解：设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)．由QP·FP＝OP·QF，得(x＋1，0)·(x－1，y)＝(x，y)·(2，－y)，所以 x2－1＝2x－y2，所以 x2＋y2－2x－1＝0.即轨迹 C 的方程为 x2＋y2－2x－1＝0.本题利用了求曲线方程的基本方法，在解题时根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不合题意的特殊点要予以说明． 设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过...