2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质.1.通过由方程研究曲线的性质，培养学生直观想象素养.2.借助由曲线求它的方程，提升学生逻辑推理、数学运算素养.1．解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的方程．(2)利用方程研究曲线的性质．2．求曲线的方程的步骤思考：求曲线方程的步骤是否可以省略．[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明．1．已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－，0)，B(，0)，顶点 C 的轨迹是( )A．一条直线 B．一条直线去掉一点C．一个点 D．两个点B [C 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线去掉 AB 的中点．]2．已知点 A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边 AB 的中线的方程是( )A．x＝0 B．x＝0(0≤y≤3)C．y＝0 D．y＝0(0≤x≤2)[答案] B3．平面上有三点 A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点 C 的轨迹方程为________．y2＝8x(x≠0) [AB＝，BC＝，1由AB⊥BC得 2x－＝0，即 y2＝8x(x≠0)．]由方程研究曲线的性质【例 1】 写出方程 y2－4x－4＝0 的曲线的主要性质．[解] (1)曲线变化情况： y2＝4x＋4≥0，得 x≥－1，y 可取一切实数，x 逐渐增大时，|y|无限增大．∴曲线在直线 x＝－1 的右侧，向上向下无限伸展．(2)对称性：用－y 代 y 方程不变，故曲线关于 x 轴对称．(3)截距：令 y＝0，得 x＝－1；令 x＝0 得 y＝±2，∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2.(4)画方程的曲线： 列表： x－10123…y0±2±2.83±3.46±4…描点作图如图所示．利用方程研究曲线性质的一般过程1．画出到两坐标轴距离之差等于 1 的点的轨迹图形．2[解] 到两坐标轴距离之差等于 1 的点(x，y)，满足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x 代 x，或－y 代 y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出 x≥0，y≥0 的图形后，利用对称性完成画图，如图.直接法求曲线方程【例 2】 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．[思路探究] 由条件可知...
