2．2.2 双曲线的简单几何性质 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)． 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系． 4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．双曲线的几何性质类型－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图象性质焦点(± c ， 0 ) (0 ， ± c ) 焦距2 c 2 c 范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≥ a 或 y ≤ － a 对称性以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称图形顶点(± a ， 0 ) (0 ， ± a ) 轴实轴 A1A2，虚轴 B1B2离心率e>1渐近线y ＝ ± x y＝±x1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( )(2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( )(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x. ( )答案：(1)× (2)× (3)×2．双曲线－＝1 的渐近线方程为( )A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0答案：A3．双曲线－＝1 的焦点坐标为________，离心率为________．答案：(±7，0) 4．双曲线的实轴和虚轴等长，且一个焦点是 F1(－6，0)，则其标准方程为________．解析：因为双曲线的焦点为(－6，0)，所以 c＝6，又 a2＝b2，所以 2a2＝36，a2＝18.所以双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝11 双曲线的几何性质 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.【解】 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程－＝1，即－＝1，所以 a＝3，b＝2，c＝.因此顶点为 A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点为 F1(－，0)，F2(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x＝±x.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 1.双曲线 x2－y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于( )A. B.C．1 D.解析：选 B.双曲线 x2－y2＝1 的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为 y＝±x，所以 x±y＝0，所以顶点到渐近线的距离为 d＝＝.2．已知 F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1 B.＋1C．2 D．2解析：选 B.不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，所以(2a＋2c)...
