2．2.2 椭圆的几何性质(二)[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题．知识点一 点与椭圆的位置关系点 P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点 P 在椭圆上⇔＋＝1；点 P 在椭圆内部⇔＋<1；点 P 在椭圆外部⇔＋>1.知识点二 直线与椭圆的位置关系直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三 弦长公式设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB＝，∴AB＝＝＝，或 AB＝ ＝ ＝ .其中，x1＋x2，x1x2或 y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程求得．题型一 直线与椭圆的位置关系例 1 在椭圆＋＝1 上求一点 P，使它到直线 l：3x－2y－16＝0 的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得 4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为 y＝x＋4 和 y＝x－4，显然 y＝x－4 距 l 最近，d＝＝＝，切点为 P.反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练 1 已知椭圆 x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：x－y＋4＝0 的距离最短，并求出最短距离．解 设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的直线为 x－y＋a＝0，联立方程得 9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得 a＝3 或 a＝－3，∴与直线 l 距离较近的切线方程为 x－y＋3＝0，最小距离为 d＝＝.由得即 P(－，)．题型二 直线与椭圆的相交弦问题例 2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆＋＝1 所截得的线段的中点，求直线 l 的方程．解 由题意知直线 l 的斜率存在，所以可设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为 x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4...
