2.2.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象．知识点一 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－ a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b ，－ a ≤ y ≤ a 顶点A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) ，B1(0 ，－ b ) ， B 2(0 ， b ) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) ，B1( － b, 0) ， B 2( b, 0) 轴长短轴长＝2 b ，长轴长＝2 a 焦点(±，0)(0，±)焦距F1F2＝2对称性对称轴：x 轴、 y 轴 对称中心：原点离心率e＝∈(0,1)知识点二 离心率的作用当椭圆的离心率越接近 1 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近 0 ，则椭圆越接近于圆．题型一 椭圆的简单几何性质例 1 求椭圆 25x2＋y2＝25 的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标．解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，则 a＝5，b＝1.所以 c＝＝2，因此，椭圆的长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝2，两个焦点分别是 F1(0，－2)，F2(0,2)，椭圆的四个顶点分别是 A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0)．反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质．跟踪训练 1 求椭圆 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为＋＝1. m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a＝，短半轴长 b＝，半焦距长 c＝.∴椭圆的长轴长 2a＝，短轴长 2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)．离心率 e＝＝＝.题型二 由椭圆的几何性质求方程例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为，焦距为 8；(2)已知椭圆的离心率为 e＝，短轴长为 8.解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而 b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由 e＝＝得 c＝a，又 2b＝8，a2＝b2＋c2，所以 a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为＋＝1 或＋＝1.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标...
