高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

2.3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一 双曲线的几何性质思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理 标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≥ a 或 y ≤ － a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) 渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二 双曲线的离心率思考 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案 双曲线－＝1 的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设 e＝，则＝＝.当 e 的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理 定义：双曲线的焦距与实轴长的比 e＝，叫做双曲线的离心率.性质：离心率 e 的取值范围是(1 ，＋∞ ) .e 越大，双曲线的张口越大.知识点三 双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是 y ＝ ± x ，离心率为.1.等轴双曲线的离心率是 1.( × )2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( × )3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( × )4.方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x.( × )类型一 已知双曲线的标准方程研究几何性质例 1 求双曲线 x2－3y2＋12＝0 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 将方程 x2－3y2＋12＝0 化为标准方程为－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4，∴双曲线的实轴长为 2a＝4，虚轴长为 2b＝4；焦点坐标为 F1(0，－4)，F2(0,4)；顶点坐标为 A1(0，－2)，A2(0,2)；渐近线方程为 y＝±x；离心率 e＝2.反思与感悟 已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中 a，b 的对应值，利用 c2＝a2＋b2得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练 1 求双曲线 9...