高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

2．3.2 双曲线的几何性质[学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一 双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≥ a 或 y ≤ － a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1( － a, 0) ，A2( a, 0) A1(0 ，－ a ) ，A2(0 ， a ) 实轴和虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是 y ＝ ± x .思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是 e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案 (1)不一样．椭圆的离心率 01.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线 y＝±x 的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当 λ>0时，焦点在 x 轴上，当 λ<0 时，焦点在 y 轴上．题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点为 F1(－，0)，F2(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x＝±x.反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练 1 求双曲线 x2－3y2＋12＝0 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解 将方程 x2－3y2＋12＝0 化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4.∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4.焦点坐标为 F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为 A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为 y＝±x，离心率 e＝2.题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为 y＝±x，且经过点 A(2，－3)．解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1...