类比推理分类例析 类比推理是各种逻辑思维方 法中最富于创造性的一种方法．这是因为类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物，也不象演绎推理那样受到一般原理的严格制约．它可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，既可以比较事物的非本质属性（如形式和研究方法），又可以比较事物的本质属性．现例析如下： 一、外在形式和表面现象的类比 例 1 在 RtABC△中，两直角边 ACb ， BCa，斜边 AB 上的高为 h ，则222111hab．该结论的证明很简单．类比它，在立体几何中有何发现？解：我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：在三棱锥VABC中，若三条侧棱VA 、VB 、VC 两两垂直，且长度分别为abc， ， ，顶点V 到底面 ABC 的距离VHh ，则22221111habc．证明如下：如图 1，连结 AH 并延长交 BC 于点 D ，连结VD ， VAVB，VAVC，∴VA 平面VBC ，∴VABC，VAOVD ． VH 平面 ABC ，∴VHBC，∴ BC 平面VAD ，∴ BCVD． VBVC，∴在RtVBC△中，222111VDVBVC，在RtVAD△中，222111VHVAVD．∴22221111VHVAVBVC，即22221111habc．结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直． 评注：本题是从二维平面到三维空间的一个升维类比，仅从形式上就可得出类比的结论，正确与否必须证明．例 2 已知椭圆具有性质：若 MN，是椭圆2222:1(0)xyCabab上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上除 MN，点外的任一点，当直线 PMPN，的斜率都存在，并记为PMk、PNk时 ， 那 么PMk与PNk之 积 是 与 点 P 位 置 无 关 的 定 值 ． 试 对 双 曲 线22221(00)xyabab，写出类似的性质，并加以证明．用心 爱心 专心 解：类似性质为：若 MN，是双曲线22221(00)xyabab，上关于原点对称的两个点，P 是双曲线上除 MN，点外的任一点，当直线 PMPN，的斜率都存在，并记为PMk、PNk时，那么PMk与PNk之积是与点 P 位置无关的定值． 证明如下：设点()M mn，，()P xy，，则()Nmn，． 点 MP，在双曲线上，∴22222bnmba，22222byxba． 故222222222222PMPNynbxmbkkxmaxma（定值）． 评注：本题是由椭圆到双曲线的同级类比，仅从表面形式上便可得出类比的结论，叙述时要与原结论保持形式上的一致． 二、研究方法上的类比 例 3 已知命题：“若数列 na为等差...
