高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.4.2 抛物线的几何性质学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)1．抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x ＝－ x ＝ y ＝－ y ＝ 范围x ≥0 ， y ∈R x ≤0 ， y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 对称轴x 轴y 轴顶点O (0,0) 离心率e＝1开口方向向右向左向上向下2.抛物线的焦点弦、通径抛物线的焦点弦即为过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为 AB＝x1＋ x 2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2 p ，称为抛物线的通径．[基础自测]1．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于 A，B 两点，则线段 AB 的长为________．[解析] 易知线段 AB 为抛物线的通径，所以 AB＝4.[答案] 42．如图，过抛物线 x2＝－4y 的焦点作直线垂直于 y 轴，交抛物线于 A，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．[解析] F(0，－1)，将 y＝－1 代入得 xA＝2，∴AB＝4，∴S△OAB＝×4×1＝2.[答案] 2依据抛物线的几何性质求抛物线标准方程 (1)已知双曲线 C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点 F 在 x 轴正半轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于A，B 两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，则此抛物线的标准方程为________．[解] (1) 双曲线 C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，∴抛物线 C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为 x2＝16y.(2)不妨设抛物线的方程为 y2＝2px，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB＝2p，又 OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故 p＝2.[答案] (1)x2＝16y (2)y2＝4x[规律方法] 利用抛物线几何性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.[跟踪训练]1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋16y2＝144 的短轴所在的直线，抛物线焦...