高中数学 第2章《数学归纳法》素材2 苏教版选修2-2

数学归纳法的应用 数学归纳法是高中数学中一种重要的数学方法，常常以观察、试验、类比、联想、归纳提出合理的科学猜想，通过数学归纳法的证明可以保证猜想的合理性与正确性．广泛的用来证明等式、不等式、整除性问题等与自然数有关的命题．下面举例说明数学归纳法的几种应用． 一、等式问题 例 1 已知nN ，求证：111111111234212122nnnnn． 证明：（1）当1n  时，等式左边11122 ，右边12，等式成立． （2）假设当nk 时，命题成立．即 111111111234212122kkkkk． 则当1nk  时， 111111112342122(1) 12(1)kkkk11111122212(1)kkkkk11111232112(1)kkkkk1111(1) 1(1)22(1) 12(1)kkkk。 ∴当1nk  时，等式成立． 综上，由（1）和（2）可知，对于任何nN，等式成立． 评注：本题在证明过程中突出了一个凑字，即“凑”结论，关键是明确1nk  时证明的目标，充分考虑由nk 到1nk  时，命题形式之间的区别和联系． 二、不等式问题 例 2 求证：1115 (2)1236 nnnnnN，≥． 证明：（1）当 n=2 时，左边1111534566 ，不等式成立． （2）假设当(2)nk kkN，≥时命题成立，即11151236kkk． 则当1nk  时， 111111(1) 1(1)2331323(1)kkkkkk用心 爱心 专心111111111233132331kkkkkkk5111163132331kkkk5115363316kk， 所以当1nk  时不等式也成立． 由（1）和（2）可知，原不等式对一切2n≥，nN均成立． 评注：本题在由nk 到1nk  时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． 三、整除性问题 例 3 利用数学归纳法证明(31) 71()nnnN能被 9 整除． 证明：（1）当 n=1 时，（3×1＋1）×７ 1－1＝2 ７，能被 9 整除，所以命题成立． （2）假设当nk 时命题成立，即(31) 71kk 能被 9 整除． 那么当1nk  时， 113(1) 1 71(34) 71kkkk11(31) 71 3 7kk...