高中数学 第2章《数学归纳法》素材3 苏教版选修2-2

数学归纳法证明的几种常用方法 用数学归纳法证明一个与自然数 n 有关的命题( )p n 时，第二步是十分关键的步骤．怎样才能从( )p k 顺利地过渡到(1)p k 呢？下面介绍几种常用方法． 一、恰当放缩 例１ 已知n是大于1的自然数，11112111135721nSn       ，求证：21nSn． 分析：由已知可看到nS 的形式很繁锁，并且要证结论为不等式，则可联想不等式的性质对其适当放缩，从而证得原命题． 证明：（1）当2n  时，2864452 2 1399S   ，所以不等式成立． （2）假设当nk （kN ，且2k≥）时，21kSk 成立，则当1nk  时，有11221212121kkkSSkkk224844832121kkkkkk(21)(23)2(1) 121kkkk。 所以当1nk  时原不等式也成立． 由（1）和（2），可知原不等式对任何大于 1 的自然数 n 都成立． 二、起点后移 例 2 已知nN ，求证：2111(123) 123nnn ≥． 分析：可结合不等式关系：111111(1)232 nn≥来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明1n  时原不等式成立，还要证明当2n  时，原不等式也成立． 证明：（1）当1n  时，原不等式显然成立， 当2n  时，不等式左边191(12)14222 ， 右边224 ，则左边＞右边， ∴当2n  时，原不等式成立． （2）假设当()nk kN时，2111(123) 123kkk ≥成立，用心 爱心 专心1则1nk  时， 1111[123(1)] 1231kkkk 111123111(123) 11(1) 123123kkkkkk   2(1)11(1) 12(1)2k kkkk≥2231(1)22kkkk ． 所以当1nk  时原不等式也成立． 由（1）和（2），可知原不等式对任何nN都成立． 三、增加跨度 例 3 试证：任何一个正方形都可以分割成 5 个以上的任意多个正方形． 分析：一个正方形分割成 4 个正方形是很容易的．由此猜想：若能把一个正方形分割成 k个正方形，则必能分割成(4) 13kk ...