高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 圆锥曲线的应用学案 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学学案

2．4 圆锥曲线的应用 1.掌握圆锥曲线的概念、性质． 2.能利用圆锥曲线的有关性质解决实际问题． 与抛物线相关的应用问题 某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4.5 m，此车能否通过此隧道，说明理由．【解】 如图建立平面直角坐标系．设抛物线标准方程为 x2＝－2py(p>0)，则点(3，－3)在抛物线上，求得 p＝，上拱抛物线方程为 x2＝－3y，箱宽 3 m，故当 x＝1.5 时，y＝－0.75，即B(1.5，－0.75)，那么 B 点到底的距离为 5－0.75＝4.25 (m)，而车与箱的高为 4.5 m，故不能通过． (1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题． (2)在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用． 如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，水位下降 1 m 后，水面宽是多少米？解：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得 p＝1，则抛物线的方程为 x2＝－2y，当水面下降 1 m 时，为 y＝－3，代入抛物线方程得 x＝±，所以此时水面宽为 2 m. 天体运动的轨道 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径 R＝34 百公里)的中心 F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A 到火星表面的距离为 8 百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B 到火星表面的距离为800 百公里．假定探测器由近火星点 A 第一次逆时针运行到与轨道中心 O 的距离为百公里时进行变轨，其中 a、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到 1 百公里)．【解】 设所求轨道方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.因为 a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，所以 a＝438，c＝396，于是 b2＝a2－c2＝35 028.所以所求轨道方程为＋＝1.1设变轨时，探测器位于 P(x0，y0)，则x＋y＝ab≈81 975.1，＋＝1，解得 x0≈239.7，y0≈156.7(由题意 x0>0，y0>0)．所以探测器在变轨时与火星表面的距离为－R≈187.所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 187 百公里．解答与椭圆相...