2.4.2 抛物线的几何性质(二)学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题. 通过学习直线与抛物线的位置关系有关求值的证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交有两个或一个公共点k＝0 或联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为 Δ相切有且只有一个公共点Δ＝0相离无公共点Δ＜01．已知直线 l 与抛物线 x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线 l 与抛物线的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切D [当直线 l 与 y 轴平行或重合时，直线 l 与抛物线 x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l 与抛物线是相交的．当直线 l 的斜率存在，直线 l 与抛物线 x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线 l 与抛物线相切．]2．已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A．－ B．－1C．－ D．－C [由点 A(－2,3)在 y2＝2px 的准线 x＝－上得 p＝4，∴F(2,0)，∴kAF＝－，故选 C.]3．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则|AB|＝________.8 [|AB|＝2＝2(3＋1)＝8.]1直线与抛物线的位置关系【例 1】 已知抛物线的方程为 y2＝4x，直线 l 过定点 P(－2，1)，斜率为 k，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[解] 由题意，设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)．由方程组(*)可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(1)当 k＝0 时，由方程①得 y＝1.把 y＝1 代入 y2＝4x，得 x＝.这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点.(2)当 k≠0 时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．① 由 Δ＝0，即 2k2＋k－1＝0，解得 k＝－1，或 k＝.于是，当 k＝－1，或 k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线 l与抛物线只有一个公共点．② 由 Δ>0，得 2k2＋k－1<0，解得－10，解得 k<－1，或 k>.于是，当 k<－1，或 k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线 l 与抛物线没有...
