高中数学 第2章6平面向量数量积的坐标表示导学案 北师大版必修4

第 2 章 平面向量§6 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.【学习重点】平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.【学习难点】用坐标法处理长度、角度、垂直问题.【知识衔接】1.数量积定义：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁， 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。范围0≤≤180。3. 射影定义：▁▁▁▁叫做向量 b 在 a 方向上的射影。4.数量积性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量。①▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁； ② ab ▁▁▁▁▁▁；③当 a 与 b 同向时，▁▁▁▁▁▁；当 a 与 b 反向时，▁▁▁▁▁▁特别的 a•a =▁▁▁▁；④ cos =▁▁▁▁▁▁▁（|a||b|≠0） ；⑤ |ab|≤▁▁▁▁▁▁▁。【学习过程】一、平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？1. 推导坐标公式：设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j，则：i•i = 1，j•j = 1，i•j = j•i = 0.∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ∴a•b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i•j + x2y1i•j + y1y2j2 = x1x2 + y1y2从而获得公式：a•b = x1x2 + y1y22.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x, y)  |a|2 = x2 + y2  |a| =22yx  ② 若 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则AB=221221)()(yyxx ③cos =||||baba222221212121yxyxyyxx ④∵ab  a•b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）二、由解析几何知，给定斜率为 k 直线 l 的，则向量 m=（1，k）与直线 l 共线。我们把与▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁称为直线 l 的方向向量。三例题讲评：例 1：已知 a=（3,2），b=（1，-1），求向量 a 与 b 的夹角的余弦值。例 2：求以点 C(a，b)为圆心，r 为半径的园的方程。例 3：已知园 C:（x-a）2+（y-b）2=r2 ，求与圆 C 相切于点 p0（x0，y0）的切线方程。例 4： 已知直线 l1:：3x+4y-12=0 和直线 l2:7x+y-28=0,求直线 l1与 l2的夹角【巩固练习】1.设 a = (5, 7)，b = (6, 4)，求 a•b用心 爱心 专心2.已知 A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形.3.已知 a=（3,2），b=（-6,9），求证：a⊥b4.已知 a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足 x•a = 9 与 x•b = 4 的向量 x.【学习反思】【作业布置】用心 爱心 专心