2.4.2 抛物线的几何性质(一)学 习 目 标核 心 素 养1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点) 通过抛物线的几何性质的学习，培养学生的直观想象、数学运算素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x 轴y 轴顶点(0,0)离心率e＝1思考：参数 p 对抛物线开口大小有何影响？[提示] 参数 p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦的长度是 2p，所以 p 越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 6，则点 P 到该抛物线焦点 F 的距离是( )A．8 B．6 C．4 D．2A [ 抛物线的方程为 y2＝8x，∴其准线 l 的方程为 x＝－2，设点 P(x0，y0)到其准线的距离为 d，则 d＝|PF|，1即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2， 点 P 到 y 轴的距离是 6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8.]2．顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是 ( )A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16yD [顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为 4 知 p＝8，故所求抛物线方程为 x2＝16y，x2＝－16y.]3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F，点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2C [由抛物线定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，∴|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，故选 C.]由抛物线的几何性质求标准方程【例 1】 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路探究] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[解] 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在 x 轴上，∴抛物线的对称轴为 x 轴，∴设抛物线的方程为 y2＝2px ...
