高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一 抛物线的几何性质思考 1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线 y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？答案 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0).思考 2 抛物线标准方程 y2＝2px(p>0)中的参数 p 对抛物线开口大小有何影响？答案 p 越大，开口越大.梳理 标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x ≥0 ， y ∈ R x ≤0 ， y ∈ R x ∈ R ， y ≥0 x ∈ R ， y ≤0 对称轴x 轴 y 轴 顶点(0,0)离心率e＝1知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p>0)AB＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)AB＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)AB＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)AB＝p－(y1＋y2)知识点三 抛物线中的弦长与中点弦问题1.相交弦长弦长公式：d＝|x1－x2|＝|y1－y2|.2.已知 AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点 M 的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导 AB 的斜率如下：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有由②－①得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1).③ kAB＝，④y1＋y2＝2y0，⑤由③④⑤得 kAB＝，即弦 AB 的斜率只与 p 和弦 AB 中点的纵坐标有关.1.抛物线 y＝2px2(p>0)的对称轴为 y 轴.( √ )2.抛物线关于顶点对称.( × )3.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( √ )4.抛物线的标准方程各不相同，其离心率也各不相同.( × )类型一 由抛物线的几何性质求标准方程例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程.考点 抛物线的几何性质题点 由几何性质求抛物线方程解 由题意设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点坐标为 F.直线 l：x＝，所以 A，B 两点的坐标为，，所以 AB＝2|m|.因为△OAB 的面积为 4，所以··2|m|＝4，所以 m＝±2.所以抛物线的标准方程为 y2＝±4x.引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB 的面积是________.答案 4p2解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直...