§2.5 圆锥曲线的共同性质学习目标 1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.知识点 圆锥曲线的共同性质思考 圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？答案 如图，过点 M 作 MH⊥l，H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M∈{M|FM＝eMH}.取过焦点 F，且与准线 l 垂直的直线为 x 轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.设点 M 的坐标为(x，y)，则OM＝.①设直线 l 的方程为 x＝－p，则 MH＝|x＋p|.②把①，②代入 OM＝eMH，得＝e|x＋p|.两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比等于常数 e .当 0< e <1 时，它表示椭圆；当 e >1 时，它表示双曲线；当 e ＝ 1 时，它表示抛物线.其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线.(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的准线方程为 x＝±，＋＝1(a>b>0)的准线方程为 y＝±.双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为 x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为 y＝±.1.若平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是一个常数 e(e>0)，则动点 P 的轨迹是圆锥曲线.( × )2.双曲线 x2－y2＝1 的准线方程为 x＝±.( √ )3.＋＝1 上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是 8.( √ )4.点 M(x，y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 l：x＝的距离的比是常数，则点 M 的轨迹为＋＝1.( × )类型一 已知准线求圆锥曲线的方程例 1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为 4，且经过点 A(2，3)，求双曲线的方程.考点 准线题点 由准线等条件求曲线方程解 (1)若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得∴a2＝2c，b2＝c2－a2＝c2－2c.代入－＝1，整理得 c2－14c＋33＝0，∴c＝3 或 c＝11.∴a2＝6，b2＝3 或 a2＝22，b2＝99.∴双曲线的方程为－＝1 或－＝1.(2)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).由已知得－＝1.将 a2＝2c，b2＝c2－2c 代入－＝1 得，2c2－13c＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解.综合(1)(2)可知，双曲线的方程为－＝1 或－＝1.反思...
