2.5 圆锥曲线的统一定义[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．知识点一 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．0< e <1 时，它表示椭圆；e >1 时，它表示双曲线；e ＝ 1 时，它表示抛物线．知识点二 准线方程对于椭圆＋＝1 (a>b>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)中，与 F(c,0)对应的准线方程是 l：x＝，与 F′(－c，0)对应的准线方程是 l′：x＝－；如果焦点在 y 轴上，则两条准线方程为 y＝±.思考 1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答案 .2．动点 M 到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答案 当 F∉l 时，动点 M 轨迹是圆锥曲线．当 F∈l 时，动点 M 轨迹是过 F 且与 l 垂直的直线．题型一 统一定义的简单应用例 1 椭圆＋＝1 上有一点 P，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝＝，而＝e＝，∴PF1＝2，∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪训练 1 已知椭圆＋＝1 上一点 P 到右焦点 F2的距离为 b(b>1)，求 P 到左准线的距离．解 方法一 由＋＝1，得 a＝2b，c＝b，e＝.由椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝4b，得 PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.由椭圆第二定义，＝e，d1为 P 到左准线的距离，∴d1＝＝2b，即 P 到左准线的距离为 2b.方法二 ＝e，d2为 P 到右准线的距离．e＝＝，∴d2＝＝b.又椭圆的两准线的距离为 2·＝b，∴P 到左准线的距离为 b－b＝2b.题型二 应用统一定义转化求最值例 2 已知椭圆＋＝1 内有一点 P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点 M，使 MP＋2MF 之值为最小． 解 设 d 为 M 到右准线的距离． e＝＝，＝，∴＝d，即 d＝2MF(如图)．故 MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.显然，当 P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点 M 的坐标为(，－1)．反思与感悟 本例中，利用统一定义，将椭圆上点 M 到...
