第 2 章 圆锥曲线与方程1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例 1 线段 AB＝4，PA＋PB＝6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于 PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A，B 为焦点的椭圆，且 a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是 PM 的长度的最小值是 b＝.答案 2．求动点坐标例 2 椭圆＋＝1 上到两个焦点 F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为 P，由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝10，所以 PF1·PF2≤2＝2＝25，当且仅当 PF1＝PF2时取等号．由解得 PF1＝PF2＝5＝a，此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3,0)．答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF1＋PF2＝10”，即两个正数 PF1，PF2的和为定值，结合基本不等式可求 PF1，PF2乘积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标．3．求焦点三角形面积例 3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点 P 在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解 由已知，得 a＝2，b＝，所以 c＝＝1，F1F2＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos120°，即 PF＝PF＋4＋2PF1，①由椭圆定义，得 PF1＋PF2＝4，即 PF2＝4－PF1.②将②代入①，得 PF1＝.所以 S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评 在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于 PF1，PF2的方程组，消去 PF2可求PF1.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 4 个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为＋＝ 1(a>b>0)，焦距为 2c，由题意知∠ F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c，AF1＝2c·sin60°＝c.∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.答案 －1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例 2 椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为 F1(－c,0)，A(－a，0)，B(...
