5.2.3 简单复合函数的导数学 习 目 标核 心 素 养1.了解复合函数的概念．(易混点)2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点)1.通过复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养.海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径 r(单位：m)的函数：S＝f (r)＝πr2.油膜的半径 r 随着时间 t(单位：s)的增加而扩大，假设 r 关于 t 的函数为 r＝φ(t)＝2t＋1.思考：油膜的面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？1．复合函数的概念一般地，对于两个函数 y＝f (u)和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f (u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y ＝ f ( g ( x )) ．思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数 y＝log2(x＋1)是由 y＝log2u 及 u＝x＋1 两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数 y＝f (g(x))的导数和函数 y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u· u ′ x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 ．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝sin(πx)的复合过程是 y＝sin u，u＝πx．( )(2)f (x)＝ln(3x－1)则 f ′(x)＝．( )(3)f (x)＝x2cos2x，则 f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．( )[提示] (2)中 f ′(x)＝.(3)中，f ′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.[答案] (1)√ (2)× (3)×2．函数 y＝的导数是( )A． B．C．－D．－C [ y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]3．下列对函数的求导正确的是( )A．y＝(1－2x)3，则 y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则 y′＝C．y＝cos，则 y′＝sinD．y＝22x－1，则 y′＝22xln 2D [A 中，y′＝－6(1－2x)2，∴A 错误；B 中，y′＝，∴B 错误；C 中，y′＝－sin，∴C 错误；D 中 y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故 D 正确．]复合函数的导数【例 1】 求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝.[解] (1)函数 y＝e2x＋1可看作函数 y＝eu和 u＝2x＋1 的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数 y＝可看作函数 y＝...
