第 3 课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用学 习 目 标核 心 素 养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数 f (x)的图象直观地反映了函数 f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数 f (x)的图象：(1)求出函数 f (x)的定义域；(2)求导数 f ′(x)及函数 f ′(x)的零点；(3)用 f ′(x)的零点将 f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出 f ′(x)在各区间上的正负，并得出 f (x)的单调性与极值；(4)确定 f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出 f (x)的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于 0，销售价为正数等．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用导数研究实际问题要先求定义域．( )(2)方程 xex＝2 有两个不相等的实数根．( )(3)做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 4 m． ( )[提示] (2)令 y＝xex，，则 y′＝ex(x＋1)．由于 x＞－1 时，y′＞0，x＜－1 时，y′＜0.∴x＝－1 时 y＝xex取到最小值－.结合单调性及变化趋势画出如图所示，由图可以看出y＝xex与 y＝2 只有一个交点，故方程只有一个解．(3)设底的边长为 x m，则高为.那么需材料的面积为 x2＋4x×＝x2＋.令 y＝x2＋，∴y′＝2x－.令 y′＝0 得 x＝8.又 x＞8 时 y′＞0，x＜8 时 y′＜0，∴x＝8 时用料最省，这时高h＝＝4(m)．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：℃)为 f (x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是...
