第 2 章 圆锥曲线与方程圆锥曲线定义的应用【例 1】 (1)已知 F 是双曲线－＝1 的左焦点，点 A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )A．9 B．5 C．8 D．4(2)若点 M(1,2)，点 C 是椭圆＋＝1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．(1)A (2)8－2 [(1)设右焦点为 F′，则 F′(4,0)，依题意，有|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.(2)设点 B 为椭圆的左焦点，则 B(－3，0)，点 M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而 a＝4，|BM|＝＝2，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.]研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一1焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.提醒：应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.1．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则 C 的焦点到准线的距离为( )A．2 B．4 C．6 D．8B [设抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)，圆的方程为 x2＋y2＝r2. |AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为 x＝－，∴不妨设 A，D. 点 A，D 在圆 x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为 4.]圆锥曲线性质的应用【例 2】 (1)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )A． B． C． D．(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝，点 A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是，求双曲线方程．(1)A [如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．由 PF⊥x 轴得 P.设 E(0，m)，又 PF∥OE，得＝，则|MF|＝.①又由 OE∥MF，得＝，则|MF|＝.②由①②得 a－c＝(a＋c)，即 a＝3c，∴e＝＝.故选 A.](2) e＝＝，∴＝，∴a2＝4b2，设双曲线－＝1 上一点 B(x，y)，则|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4b2＋4y2＋(y－1)2＝5y2－2y＋4b2＋1＝5＋4b2＋.当 y＝时，|AB|取得最小值，为，即＝，∴b2＝1，双曲线方程为－y2＝...
