第 2 章 圆锥曲线与方程1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线几何条件与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形顶点坐标(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)对称轴x 轴，长轴长 2a；y 轴，短轴长 2bx 轴，实轴长 2a；y 轴，虚轴长 2bx 轴焦点坐标(±c,0)c＝(±c,0)c＝(，0)离心率01，e＝e＝1准线x＝±x＝±x＝－渐近线y＝±x2.曲线与方程(1)曲线与方程：如果曲线 C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值 e；当 01 时，圆锥曲线是双曲线；当 e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．3．直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，与圆锥曲线 D 的方程联立可得(消去 y)ax2＋bx＋c＝0(*)．(1)当 a≠0 时，若关于 x 的方程(*)的判别式 Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若 Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．(2)当 a＝0 时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点． 1．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单．例 1 双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，若 P 为双曲线上一点，且 PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．答案 (1,3]解析 如图所示，由 PF1＝2PF2知 P 在双曲线的右支上，则 PF1－PF2＝2a，又 PF1＝2PF2，∴PF1＝4a，PF2＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝－＝－， 0<∠F1PF2≤π，且当点 P 是双曲线的顶点时，∠F1PF2＝π，∴－1≤cos∠F1PF2<1，∴－1≤－<1，由 e>1，解得 1
