7.3.5 已知三角函数值求角学 习 目 标核 心 素 养1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已 知 的 三 角 函 数 值 求 角 ， 并 会 用 符 号arcsin x，arccos x，arctan x 表示角．(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1.已知正弦值，求角对于正弦函数 y＝sin x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的 x 值和它对应，记为 x＝arcsin_y.2.已知余弦值，求角对于余弦函数 y＝cos x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在[0 ， π] 上有唯一的x 值和它对应，记为 x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．3.已知正切值，求角一般地，如果 y＝tan x(y∈R)且 x∈，那么对每一个正切值 y，在开区间内，有且只有一个角 x，使 tan x＝y，记为 x＝arctan_y.思考：符号 arcsin a(a∈[－1,1])arccos a(a∈[－1,1])，arctan a(a∈R)分别表示什么？[提示] arcsin a 表示在区间上，正弦值为 a 的角；arccos a 表示在区间上，余弦值为 a 的角；arctan a 表示在区间上，正切值为 a 的角．1.下列说法中错误的是( )A．arcsin＝－ B．arcsin 0＝0C．arcsin(－1)＝πD．arcsin 1＝C [根据已知正弦值求角的定义知 arcsin(－1)＝－，故 C 项错误．]2.已知 α 是三角形的内角，且 sin α＝，则 α＝( )A． B． C．或 D．或D [因为 α 是三角形的内角，所以 α∈(0，π)，当 sin α＝时，α＝或，故选 D．]3.已知 tan 2x＝－且 x∈[0，π]，则 x＝________.或 [ x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]． tan 2x＝－，∴2x＝或 2x＝，∴x＝或.]已知正弦值求角【例 1】 已知 sin x＝.(1)当 x∈时，求 x 的取值集合；(2)当 x∈[0,2π]时，求 x 的取值集合；(3)当 x∈R 时，求 x 的取值集合．[思路探究] 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．[解](1) y＝sin x 在上是增函数，且 sin ＝，∴x＝，∴是所求集合．(2) sin x＝＞0，∴x 为第一或第二象限角，且 sin ＝sin＝，∴在[0,2π]上符合条件的角有 x＝或 x＝π，∴x 的取值集合为.(3)当 x∈R 时，x 的取值集合为 .1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．2.对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(|a|≤1)x∈x∈[0,2π]x＝...
