8.1.3 向量数量积的坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示．(难点)2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算．(重点)1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养．2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.1.向量的数量积的坐标公式设平面向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)数量积公式：a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量垂直公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.思考 1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量 e1，e2，如果对于平面向量 a，有 a＝xe1＋ye2，则向量 a 的坐标为______，记作______，[提示](x，y) a＝(x，y)．2.三个重要公式(1)向量的模：a2＝x＋y⇔| a | ＝ .(2)两点间的距离公式：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.思考 2：(1)若点 A(－3,0), B(3,0)，则|AB|＝______.(2)若点 A(－3,3), B(3，－5)，则|AB|＝______.[提示](1)6(2)10(3)向量的夹角公式：cos 〈a，b〉＝＝.1.已知 a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则 a·b＝( )A．5 B．4 C．－2 D．－1D [a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )A． B．2 C．5D．50A [ a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝ .故选 A．]3.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则 cos 〈a，b〉＝________.－ [ a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝＝2 ，|b|＝＝10.∴cos 〈a，b〉＝＝＝－ .]4．已知 a＝(3，x)，|a|＝5，则 x＝________.±4 [|a|＝＝5，∴x2＝16.即 x＝±4.]利用向量数量积的坐标公式计算【 例 1 】 (1) 已 知 向 量 a ＝ (2,3) ， b ＝ ( － 2,4) ， c ＝ ( － 1,2) ， 则 a·(b ＋ c) ＝________.(2)已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，求 a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．[思路探究](1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算．(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算．(1)12 [ b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，∴b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又 a＝(2,3)，∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.](2)[解] a·b＝1×2＋3×5＝17.因为 3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，所以 3a－b＝(1,4)，所以|3a－b|＝＝.因为 a＋b＝(...
