高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念学案（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1.1.2 导数的概念自主预习·探新知情景引入 中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？新知导学 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0到 t0＋Δt 之间的平均变化率趋近于__常数__，我们就把这个__常数__叫做 t0时刻的瞬时速度．即v＝lim ＝__lim __.故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．2．导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率是lim ＝lim .我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim ＝__lim __.预习自测 1．已知物体的运动方程是 S＝－4t2＋16t(S 的单位为 m；t 的单位为 s)，则该物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为( D )A．3 m/s B．2 m/sC．1 m/s D．0 m/s[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，∴＝＝－4Δt，∴v＝lim ＝lim (－4Δt)＝0.∴物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 0 m/s.2．设 f(x)＝2ax＋4，若 f′(1)＝2，则 a 等于( C )A．2 B．－2 C．1 D．－1[解析] f′(1)＝lim ＝lim2a＝2a＝2.∴a＝1.3．设函数 f(x)可导，则lim 等于( C )A．f′(1) B．3f′(1)C．f′(1) D．f′(3)[解析] 原式＝lim ＝f′(1)．4．由导数的定义可求得，函数 f(x)＝x2－2x 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝__0__.[解析] f′(1)＝lim ＝lim ＝limΔx＝0.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶ 瞬时速度 典例 1 已知质点 M 按规律 s＝2t2＋3 做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)(1)当 t＝2，Δt＝0.01 时，求；(2)当 t＝2，Δt＝0.001 时，求；(3)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度．[思路分析] 先求 Δs，Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3)＝4t·Δt＋2(Δt)2，再求，最后代值，Δt 越接近于 0，就越接近某时刻的瞬时速度．[解析] ＝＝＝4t＋2Δt.(1)当 t＝2，Δt＝0.01 时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)当 t＝2，Δt＝0.001 时，＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝lim ＝lim (4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．『规律总结』 求物体在时刻 t0...