第二课时 复合函数求导及应用复合函数已知 y＝(3x＋2)2，y＝sin.问题 1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题 2：试说明 y＝(3x＋2)2是如何复合的．提示：令 u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，则 y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.问题 3：试求 y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2 的导数．提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.问题 4：观察问题 3 中的导数有何关系．提示：y′＝′＝f′(u)·g′(x)．1．复合函数的概念对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数 ，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y ＝ f ( g ( x )) ． 2．复合函数的求导法则复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′· u x′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．简单的复合函数求导问题 求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝esin x；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)． (1)设 y＝u12 ，u＝1－2x2，则 y′＝(u12 )′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2) 12－ (－4x)＝ .(2)设 y＝eu，u＝sin x，则 yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin xcos x.(3)设 y＝sin u，u＝2x＋，则 yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos.(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，1则 y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝＝.复合函数的求导步骤求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令 u＝2x－1，则 y＝u4，∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)令 u＝2x＋3，则 y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3.(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.所以 y′＝′＝－sin 4x.复合函数与导数的运算法则的综合应用 求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝xcossin. (1)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝ ＋＝.(2) y＝xcossin＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4＝－sin 4x－2xcos 4x.复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导...
