1.3 导数在研究函数中的应用（综合训练 2）一、学习要求能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。二、先学后讲1．利用导数解决含有参数的问题求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系。其中与二次函数相关的充分体现数形结合和分类思想方法的题目最为常见。与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，就是通过将两个变量构成的不等式变形，使两端的变量各自相同。解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解中参数取值范围时，若已知其中一个变量 x 的范围，求另一变量a 的范围，常用以下定理： 定理 1：不等式( )( )f xg a恒成立min[ ( )]( )f xg a（求解( )f x 的最小值）；不等式( )( )f xg a恒成立max[ ( )]( )f xg a（求解( )f x 的最大值）。定理 2：不等式( )( )f xg a存在解max[ ( )]( )f xg a（求解( )f x 的最大值）；不等式( )( )f xg a存在解min[ ( )]( )f xg a（求解( )f x 的最小值）。定理 3：方程( )( )f xg a有解( )g a的范围 ( )f x的值域（求解( )f x的值域）。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域。三、问题探究■合作探究例 1．已知函数在上是单调增函数，求的取值范围。解：∵，∴；∵函数在上是单调增函数，1∴在上恒成立，即在上恒成立，∵时，恒成立，∴，即的取值范围是。■自主探究1．若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )。． ． ． ．【解析】∵，∴；∵函数在区间单调递增，∴当时，恒成立，即恒成立，∵时，，∴。故选。■合作探究例 2．函数在内有极小值，则（ ）。 ． ． ． ． 【分析】函数在内有极小值，则在内存在满足，且在点的左侧，右侧，故有两个不相等的2实数根（）。解：∵，∴；∵函数在内有极小值，∴有两个不相等的实数根，∴，∴；由，解得，，又，∴。故选。四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1. 函数在上是单调增函数，则的最大值是（ ）。． ． ． ．解：∵，∴；∵函数在上是单调增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，∵时，恒成立，∴，∴的最大值是 3。故选。2.函数在内有最小值，则（ ）。（答案：） ． ． ． ．33. 函数在上为减函数，则（ ）。． ． ． ． 解：∵，∴； 当时，，，函数在上为减函数；当时，∵函数在上为减函数，∴在上恒成立，∴即，解得，综上所述，。故选。4
