1.3 导数在研究函数中的应用（综合训练 3）一、学习要求能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。二、问题探究■合作探究例 1．设函数． （1）求的单调区间； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：（1）函数的定义域是.∵，∴，由即，解得或；由即，解得，∴的单调递增区间是，；单调递减区间是。（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，是函数的极小值点，又，，，∴当时，∵时，不等式恒成立，∴，即，∴实数的取值范围是。■自主探究11．设函数． （1）求的单调区间； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：（1）函数的定义域是.∵，∴，由即，不等式无解；由即，解得或，∴的单调递减区间是。（2）由（1）知，在上单调递减，∴，∵时，不等式恒成立，∴，即，∴实数的取值范围是。四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1. 设，若函数（）有大于零的极值点，则（ ）。 ． ． ． ．解：∵，∴；2∵函数（）有大于零的极值点，∴方程有正根，∴，此时,由，得，∴。故选。2.设函数321( )(1)4243f xxa xaxa，其中常数aR。（1）当1a 时，求函数( )f x的单调区间；（2）若3x ，( )0fx恒成立，求实数a 的取值范围。解：（1）∵2( )2(1)4(2)(2 )fxxa xaxxa，又1a 由( )(2)(2 )0fxxxa，解得2x 或2xa；由( )(2)(2 )0fxxxa，解得22xa。∴函数( )f x的单调递增区间为(,2) ，(2 ,)a ；函数( )f x的单调递减区间为(2,2 )a。（2）若3x ， ( )0fx恒成立，等价于3x 时，(2)(2 )0xxa恒成立，即3x 时，2xa 恒成立；∵3x 时， 322x ， ∴32a ，即实数a 的取值范围是.3
