高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（综合训练4）学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1.3 导数在研究函数中的应用（综合训练 4）一、学习要求能运用导数证明不等式。二、先学后讲利用导数证明不等式：一般地,证明不等式()成立，通常构造辅助函数，转化为证明不等式成立。（1）根据不等式构造出一个函数；（2）求函数的导数；（3）利用导数研究函数在其定义区间上的单调性、极值、最值；（4）借助函数的单调性，比较函数在其定义区间上的函数值与某点（区间端点、极值点、最值点）处的函数值的大小，从而使不等式得以证明。三、问题探究■合作探究例 1．当时，证明不等式.证明：令，，则。 当时，，函数单调递增，∴，即；当时，，函数单调递减，∴，即，综上所述，当时，不等式成立。■自主探究1．证明下列不等式： （1）,； （2），。1证明：（1）令，，则； 当时，，∴，∴函数在上单调递减，∴，即。（2）令，，则。 当时，，函数单调递增，∴，即；当时，，函数单调递减，∴，即；当时，，综上所述，当时，不等式成立。四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1. 证明不等式：，。2证明：令，，则。 当时，，函数单调递增，∴，∴ ，。2. 已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线 在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求的值及函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，.解：（Ⅰ） ，∴. 依题意，得， ∴；∴，，令，解得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，∴当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值。证明：（Ⅱ）令，，则。由（Ⅰ）得：，∴函数在上是增函数，3∴，即。【补充】1.函数是上的单调增函数，则实数取值范围是。 解： ，∴. 是上的单调增函数，∴当时，恒成立，∴，∴.2.若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ）． ． ． ．解： ，∴， 函数在内单调递减，∴当时，恒成立，即恒成立；又当时，，∴。故选。3.求证：函数在区间上是单调递增函数。【证明】 ，∴；4 ，∴，∴，∴， ∴函数在区间上是单调递增函数。4.设，其中为正实数．（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。解： ，∴；（Ⅰ）当时，，，令，则，解得，或，当变化时，，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增∴由表可知，是函数的极小值点；是函数的极大值点。（II） 为上的单调函数，∴若为上的单调递增函数，则恒成立，5即在上恒成立。 为正实数，即，∴，即，。∴的取值范围是。5.已知函数32( )f xxaxbxc，该函数图像在点 x=1 处的切线方程为 :...