高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

第一章 常用逻辑用语1 怎样解逻辑用语问题1.利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：(1)A 是 B 的充分条件，即 A⊆B.(2)A 是 B 的必要条件，即 B⊆A.(3)A 是 B 的充要条件，即 A＝B.(4)A 是 B 的既不充分又不必要条件，即 A∩B＝∅或 A、B 既有公共元素也有非公共元素.或例 1 设集合 S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S⊆T”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析 T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1 时，S＝{0,1}，所以 S⊆T；反之，若 S⊆T，则 S＝{0,1}或 S＝{0，－1}.所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件.答案 充分不必要2.抓住量词，对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药.例 2 (1)已知命题 p：“任意 x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题 q：“存在 x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数 a 的取值范围为______________.(2)已知命题 p：“存在 x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题 q：“存在 x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数 a 的取值范围为__________________.解析 (1)将命题 p 转化为当 x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0，即 1－a≥0，即 a≤1.命题 q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，1解得 a≤－1 或 a≥2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1].(2)命题 p 转化为当 x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，即 4－a≥0，即 a≤4.命题 q 同(1).综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4].答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢.3.挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆...