高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分（一）学案 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学学案VIP专享

1．4.1 曲边梯形面积与定积分(一)明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴 所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)． (3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝lim(xi)Δx，克服弹簧的拉力的变力所做的功：W＝lim(xi)Δx.[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考 2 如图，为求由抛物线 y＝x2与直线 x＝1，y＝0 所围成的平面图形的面积 S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线 x＝1，y＝0 和曲线 y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考 4 在“近似代替”中，如果认为函数 f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值 f()，用这种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意 ξi∈[，]处的函数值 f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答 都能求出 S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小...