高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理（二）学案 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学学案VIP专享

1．4.2 微积分基本定理(二)明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．曲边梯形的面积(1)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 S＝ʃf(x)dx.(2)当 x∈[a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积 S＝－ʃf(x)dx.2．两函数图象围成图形的面积当 x∈[a，b]时，若 f(x)>g(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝ [ʃ f(x)－g(x)]dx.(如图)探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例 1 求由曲线 y＝x2，直线 y＝2x 和 y＝x 围成的图形的面积．解 方法一 如图，由和解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.故所求的面积S＝(2x－x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝－0＋(4－)－(1－)＝.方法二 由于点 D 的横坐标也是 2，故 S＝(2x－x)dx－(x2－x)dx＝－＝2－(－2)＋(－)＝.方法三 因为′＝，′＝－，故所求的面积为S＝(y－)dy＋(－)dy＝＋＝＋(×8－×16)－(－)＝.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练 1 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积．解 由得或，所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得 S＝ (ʃ －x＋2)dx－ (ʃ x2－4)dx＝(2x－x2)|－(x3－4x)|＝－(－)＝.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例 2 计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝以及 x 轴所围图形的面积 S.解 方法一 作出直线 y＝x－4，曲线 y＝的草图．解方程组得直线 y＝x－4 与曲线 y＝交点的坐标为(8,4)．直线 y＝x－4 与 x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S＝S1＋S2＝ dʃ x＋＝x|＋x|－(x－4)2|＝.方法二...