1.4.2 微积分基本定理(一)明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果 F′(x)＝f(x)，且 f(x)在[a，b]上可积，则 ʃf(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) ，其中 F(x)叫做f(x)的一个原函数．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则 ʃf(x)dx＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则 ʃf(x)dx＝－ S 下． (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则 ʃf(x)dx＝S 上－ S 下，若 S 上＝S 下，则 ʃf(x)dx＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃx3dx 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一 微积分基本定理思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y＝y(t)，并且 y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为 s，你能分别用 y(t)，v(t)表示 s 吗？答 由物体的运动规律是 y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得 s＝ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt，所以 ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中 v(t)＝y′(t)．小结 (1)如果 f(x)在区间[a，b]上可积，且 F′(x)＝f(x)，则 ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理．(2)运用微积分基本定理求定积分 ʃf(x)dx 很方便，其关键是准确写出满足 F′(x)＝f(x)的F(x)．思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使 F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若 F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为 ʃf(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)．例 1 计算下列定积分：(1) dʃ x；(2) (2ʃx－)dx；(3) (cos ʃx－ex)dx.解 (1)因为(ln x)′＝，所以 dʃ x＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，所以 (2ʃx－)dx＝ 2ʃ xdx－ dʃ x＝x2|＋|＝(9－1)＋(－1)＝.(3) (c...
