第一章 导数及其应用1.导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点 P(x0，y0)的曲线 y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线 y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则 k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例 1] 已知函数 f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1) f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x＋1，∴直线 l 的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又 直线 l 过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.整理得，x＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝＝，又 k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1.解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3) 切线与直线 y＝－＋3 垂直，∴切线的斜率 k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.∴或即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18.即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.[对点训练]1．设函数 f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：f′(x)＝8x－.所以在点(1，f(1))处切线的斜率 k＝f′(1)＝7，又 f(1)＝4＋2＝6，所以切点的坐标为(1,6)．所以切线的方程为 y－6＝7(x－1)，即 7x－y－1＝0.借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有 ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数 f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分...
