第一章 导数及其应用1
导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点 P(x0，y0)的曲线 y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线 y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则 k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例 1] 已知函数 f(x)＝x3＋x－16
(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1) f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13
∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32
(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x＋1，∴直线 l 的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16
又 直线 l 过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16
整理得，x＝－8，∴x0＝－2
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26
k＝3×(－2)2＋1＝13
∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝＝，又 k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1
解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26
