第一章章末整合提升网络构建·理脉络导数及其应用专题突破·启智能专题 利用导数的几何意义解题导数的概念、运算及导数的几何意义等基础知识，是高考的必考内容，难度位于中低档．典例 1 设曲线 y＝x3在 x＝a(a≠0)处的切线为 l.(1)求直线 l 的方程；(2)证明：直线 l 与曲线 y＝x3恒有两个不同的公共点，且这两个公共点之间的距离不小于 3a2.[思路分析] (1)利用导数的几何意义解决．先求导数 f ′(x)＝3x2，则切线斜率为 f ′(a)＝3a2，再利用点斜式写出切线方程．(2)利用方程思想解决．将切线方程与曲线方程联立求出交点坐标 A(a，a3)，B(－2a，－8a3)，再利用两点间距离公式求出距离，观察结构，采用基本不等式证明结论成立．[解析] (1)y′＝3x2，直线 l 的斜率为 f ′(a)＝3a2.故直线 l 的方程为 y－a3＝3a2(x－a)，即 y＝3a2x－2a3.(2)证明：由，得 x3－3a2x＋2a3＝0.即(x－a)2(x＋2a)＝0，解得 x1＝a，x2＝－2a.因为 a≠0，所以 x1≠x2.所以直线 l 与曲线有两个不同的交点 A(a，a3)，B(－2a，－8a3)，则|AB|＝≥＝3a2，即这两个公共点之间的距离不小于 3a2.『规律方法』 如何求方程 x3－3a2x＋2a3＝0 的根是解决该题第二问的关键．事实上，x3－3a2x＋2a3＝0 可化为(x3－a2x)－(2a2x－2a3)＝0，进而化为 x(x2－a2)－2a2(x－a)＝0.然后通过分解因式解决．专题 求函数的单调区间典例 2 设 a∈R，讨论定义在(－∞，0)的函数 f(x)＝ax3＋(a＋)x2＋(a＋1)x 的单调性．[解析] f ′(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋a＋1＝(x＋1)(ax＋a＋1)，x<0.(1)若 a＝0，则 f ′(x)＝x＋1，当 x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1,0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．(2)若 a≠0 时，则 f ′(x)＝a(x＋1)·[x＋(1＋)]．① 若 a>0，则当 x∈(－∞，－1－)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当 x∈( － 1 － ， － 1) 时 ， f ′(x)<0 ， f(x) 单 调 递 减 ； 当 x∈( － 1,0) 时 ， f ′(x)>0，f(x)单调递增．② 若－1≤a<0，则当 x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈(－1,0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．③ 若 a<－1，则当 x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈(－1，－1－)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当 x∈(－1－，0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．『规律方法』 导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，...
