高中数学 第一章 坐标系 1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换学案 新人教B版选修4-4-新人教B版高二选修4-4数学学案VIP专享

1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换[对应学生用书 P1][读教材·填要点]1．直角坐标系(1)直线上点的坐标在直线上取定一点 O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．(2)平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为 x 轴，一条称为 y 轴，交点 O 称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．(3)空间直角坐标系过空间中一个定点 O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组( x ， y ， z ) 之间就建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换设点 P(x，y)是平面上的任意一点，在变换(a>0，b>0)的作用下，变为平面上的新点 Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换．[小问题·大思维]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数 a，b 有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数 a>0，b>0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．[对应学生用书 P1]用坐标法求轨迹方程[例 1] 已知点 H(－3,0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足 HP�· PM�＝0， PM�＝－ MQ�.当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C.[思路点拨] 设出动点 M(x，y)，将 HP�· PM�＝0， PM�＝－ MQ�，坐标化后建立 x，y 的关系式可求得．[精解详析] 设 M(x，y)，P(0，y′)，Q(x′，0)(x′>0)，1 PM�＝－ MQ�， HP�· PM�＝0，∴(x，y－y′)＝－(x′－x，－y)，且(3，y′)·(x，y－y′)＝0，∴①3x＋yy′－y′2＝0.②将①代入②式得 y2＝4x(x>0)．即动点 M 的轨迹 C 是以 O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和...