高中数学 第一章 坐标系 1.5.2 球坐标系学案 新人教B版选修4-4-新人教B版高二选修4-4数学学案VIP专享

1．5.2 球 坐 标 系[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，点 M 在 xOy 坐标面上的投影点为 M0，连接 OM 和OM0，设 z 轴的正向与向量 OM�的夹角为 φ，x 轴的正向与 OM�0的夹角为 θ，M 点到原点 O的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组( r ， θ ， φ ) 称为空间中点 M 的球坐标．在球坐标中限定 r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.2．直角坐标与球坐标的转化空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为[小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标 θ 就是该点在 xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标 θ.将球坐标化为直角坐标[例 1] 已知点 M 的球坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] M 的球坐标为，∴r＝5，φ＝，θ＝.由变换公式得故它的直角坐标为.已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是 φ，哪个角是θ.1．已知点 P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x＝rsin φcos θ＝4sin cos＝2，1y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，z＝rcos φ＝4cos＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).将直角坐标化为球坐标[例 2] 设点 M 的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意 θ 与 φ 的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r＝＝＝2.由 rcos φ＝z＝，得 cos φ＝＝，φ＝.又 tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知 M 点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点 M 的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出 r，θ，φ 代入点的球坐标即可；也可以利用 r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ 和 φ 的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点 M 的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由 rcos φ＝z＝－得 cos φ＝－，φ＝.又 tan θ＝＝(r>0，y>0)，得 θ＝，∴M 的球坐标为.球坐标系的应用[例 3] 在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相...