第 1 节 平面直角坐标系[核心必知]1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标 ( 有序实数对 ) 、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题 ， 可建立不同的坐标系解决 ， 但应使图形上的特殊点尽可能多 地落在坐标轴 ， 以便使计算更简单、方便． 2．伸缩变换中的系数 λ，μ 有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数 λ >0 ， μ >0 ， 在伸缩变换下 ， 平面直角坐标系保持不变 ， 只 是对点的坐标进行伸缩变换． 已知 Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点 C 的轨迹方程．[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a，0)，设顶点 C(x，y)．法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二：由△ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC，所以 kAC·kBC＝－1，则·＝－1(x≠±a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．法三：由△ABC 是直角三角形可知 |OC|＝|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以＝a(x≠±a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也...
