第 2 课时 球坐标系[核心必知]1．球坐标系建立空间直角坐标系 O xyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组( r ， φ ， θ ) 表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记作 P ( r ， φ ， θ ) ，其中r ≥0 ， 0≤ φ ≤π ， 0≤ θ ＜ 2 π ．在测量实践中，球坐标中的角 θ 称为被测点 P(r，φ，θ)的方位角，90° － φ 称为高低角．2．空间直角坐标与球坐标的转化空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为[问题思考]1．在球坐标系中，方程 r＝r0(r0为正常数)表示什么图形？提示：在空间的球坐标系中 ， 方程 r ＝ r 0( r 0 为正常数 ) 表示球心在原点 ， 半径为 r 0 的球面．2．在球坐标系中，方程 θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示什么图形？提示：在球坐标系中 ， 方程 θ ＝ θ 0(0≤ θ <2 π ) 表示过 z 轴的半平面 ， 它与 zOx 坐标 面的夹角为 θ 0.3．在球坐标系中，方程 φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示什么图形？提示：在球坐标系中，方程 φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点，半顶角为 φ0的圆锥面，它的中心轴是 z 轴，φ0＜时它在上半空间，φ0＞时它在下半空间，φ0＝时它是 xOy平面(如图所示)． 已知点 M 的球坐标为，求它的直角坐标．[精讲详析] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系，解答本题需要先搞清球坐标(5，，)中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可． M 的球坐标为(5，，)，∴r＝5，φ＝，θ＝.由变换公式得故它的直角坐标为(－，－，－)．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是 φ，哪个角是θ.1．已知点 P 的球坐标为求它的直角坐标．解：由变换公式得：x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2.y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2.z＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2，2，－2)． 设点 M 的直角坐标为(1，1，)，求它的球坐标．[精讲详析] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系，解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意 θ 与 φ...
