四 柱坐标系与球坐标系简介 1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组( ρ ， θ ， z ) (z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P ( ρ ， θ ， z ) ，其中 ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ时所转过的最小正角为 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组( r ， φ ， θ ) 表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系 )，有序数组 (r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记作P ( r ， φ ， θ ) ，其中 r ≥0,0≤ φ ≤π ， 0≤ θ ＜ 2π . (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 柱坐标与直角坐标的互相转化[例 1] (1)设点 A 的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标．(2)已知点 P 的柱坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨] 直接利用公式求解．[解] (1)由变换公式即 ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.tan θ＝＝，又 x＞0，y＞0，点 A 在第一象限．∴θ＝，∴点 A 的柱坐标为.(2)由变换公式得：x＝4cos ＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点 P 的直角坐标为(2,2，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求 ρ，也可利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝求 θ，在求 θ 的时候特别注意角 θ 所在的象限，从而确定 θ 的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点 M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．解：ρ＝ ＝ ＝1. x＝0，y＞0，∴θ＝.∴点 M 的柱坐标为.2．已知点 N 的柱坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x＝2cos＝0，y＝2·sin＝2，故点 N 的直角坐标为(0,2,3).球坐标与直角坐标的互相转化[例 2] (1)已知点 P 的球坐标为求它...
