高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2.3 弦切角定理学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案VIP专享

2．3 弦切角定理[对应学生用书 P19]1．弦切角的定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．弦切角的三要素是什么？提示：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．[对应学生用书 P20]弦切角的计算[例 1] 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于 D，AB 延长线交 CD 于点 C，若∠CAD＝25°，求∠C.[思路点拨] 本题主要考查弦切角定义及定理的应用．解此题时，需连接 BD，创设弦切角∠CDB，然后求∠C.[精解详析] 连接 BD. AB 为直径，则∠BDA＝90°.又 CD 为⊙O 的切线，切点为 D，∴∠BDC 为弦切角．∴∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD 中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝40°.利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素．确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角．1.如图，CD 是⊙O 的切线，T 为切点，A 是 TB 上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD 的度数为( )1A．20° B．40°C．60° D．80°解析：选 D 如图，作四边形 ABET，因为四边形 ABET 是圆内接四边形，所以∠E＝180°－∠A＝80°，又 CD 是⊙O 的切线，T 为切点，所以∠BTD＝∠E＝80°.弦切角定理的应用[例 2] 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于 P，AC⊥CD 于 C，BD⊥DC 于D，PQ⊥AB 于 Q.求证：PQ2＝AC ·BD.[思路点拨] 本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接 PA、PB 证明△ACP∽△PQB，△BDP∽△PQA 后可证 PQ2＝AC·BD.[精解详析] 连接 PA，PB，如图所示． CD 切⊙O 于 P，∴∠1＝∠2. AC⊥CD 于 C，PQ⊥AB 于 Q，∴∠ACP＝∠PQB＝90°.∴△ACP∽△PQB.∴AC∶PQ＝PA∶BP.同理，△BDP∽△PQA，∴PQ∶BD＝PA∶BP.∴AC∶PQ＝PQ∶BD，即 PQ2＝AC·BD.利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角，从而寻找角的等量关系．2．如图，OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA⊥OB，P 是 OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q，过点 Q 的⊙O 的切线交 OA 延长线于点 R.求证：RP＝RQ.证明：作直径 BC，连接 CQ，因为 BC 是⊙O 的直径，所以∠B＋∠C＝90°，因为 OA⊥OB，所以∠B＋∠BPO＝90°.所以∠C＝∠BPO.又∠BPO＝∠RPQ，所以∠C＝∠RPQ.又因为 RQ 为⊙O 的切线，2所以∠PQR＝∠C.所以∠PQR＝∠RPQ.所以 RP＝RQ.[例 3] 如...